Lesson 2.2

일반 삼각형의 변의 길이

성취기준[9수03-17] 삼각비를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.
Finding Sides of a General Triangle

직각이 없는 일반 삼각형의 변은 어떻게 구할까? 답은 단순하다 — 한 꼭짓점에서 수선을 내려 직각삼각형 두 개로 분할한다. 그 다음은 Ⅴ-2.1에서 익힌 삼각비 그대로 적용.

Hook · 도입
"직각이 없는 삼각형의 변은 어떻게 구할까?"

삼각비는 직각삼각형에서만 정의되었다. 그러면 일반 삼각형에서는 어떻게 변을 구할까? 해답은 단순하다 — 수선을 내려 직각삼각형을 만든다. 한 꼭짓점에서 마주보는 변에 수선의 발을 내리면, 원래 삼각형이 직각삼각형 두 개로 깔끔히 분할된다.

일반 삼각형의 문제 = 직각삼각형 두 개의 문제
— 수선이 다리가 되어 두 삼각형을 잇는다 —
Core · 핵심 기법

수선 내리기 — 직각삼각형 두 개로 분할

Drop a Perpendicular

1기본 아이디어

삼각형 $\triangle ABC$ 에서 한 꼭짓점(예: $A$)에서 마주보는 변($\overline{BC}$)에 수선의 발 $H$ 를 내리면:

① $\overline{AH} \perp \overline{BC}$ → 직각이 만들어짐
② $\triangle ABH$ 와 $\triangle ACH$ — 두 직각삼각형이 생김
③ 각 직각삼각형에서 Ⅴ-2.1 의 삼각비 공식 적용 가능
B C A H 수선 h △ABH △ACH
왜 이 방법이 작동하는가? 우리는 직각삼각형의 삼각비만 안다 → 일반 삼각형을 직각삼각형으로 환원 → 같은 도구로 풀 수 있다.

23단계 절차

1
수선 내릴 꼭짓점 선택

아는 각의 이웃 꼭짓점에서 마주보는 변에 수선의 발 내리기.

2
두 직각삼각형에서 삼각비 적용

수선 길이 $h$ 와 양옆의 변 부분을 각각 삼각비로 계산.

3
피타고라스 또는 길이 합으로 결합

구하려는 변 = $\sqrt{h^2 + (변의 한 부분)^2}$ 또는 두 부분 길이의 합.

⚠️ 이때 $\overline{HC}$ 는 길이다 — 음수가 나올 수 없다. $\overline{BC} - \overline{BH}$ 를 공식처럼 외우지 말고, 수선의 발 $H$ 가 변 $\overline{BC}$ 위에 떨어지는지부터 확인하자(④절).

Walk-through · 핵심 예제

두 변과 끼인각이 주어진 경우

Two Sides + Included Angle

예제 — $a = 8, c = 12, \angle B = 60°$ 일 때 $b$ 의 길이

($\angle B$ 가 끼인각, $a = \overline{BC}$, $c = \overline{AB}$, $b = \overline{AC}$ — 구하는 변)

1
$A$ 에서 $\overline{BC}$ 에 수선의 발 $H$ 내리기

$\triangle ABH$ 는 $\angle H = 90°$, 빗변 $\overline{AB} = c = 12$, 한 예각 $\angle B = 60°$ 인 직각삼각형.

2
$\triangle ABH$ 에서 두 변 계산
$\overline{AH} = c \sin B = 12 \sin 60° = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$
$\overline{BH} = c \cos B = 12 \cos 60° = 12 \cdot \dfrac{1}{2} = 6$
3
$\overline{HC}$ 계산
$\overline{HC} = \overline{BC} - \overline{BH} = 8 - 6 = 2$

여기서 빼기가 성립하는 이유는 $\overline{BH} = 6$ 이 $\overline{BC} = 8$ 보다 짧아서 $H$ 가 $B$ 와 $C$ 사이에 떨어지기 때문이다. $\overline{BH}$ 가 더 길면 $H$ 가 $C$ 를 지나가므로 순서를 뒤집어야 한다(④절).

4
$\triangle AHC$ 에서 피타고라스
$b = \overline{AC} = \sqrt{\overline{AH}^2 + \overline{HC}^2} = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{108 + 4} = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}$
60° B C A H c = 12 a = 8 b = ? 6√3 BH=6 HC=2
핵심 관찰. 수선 $\overline{AH}$ 가 두 직각삼각형을 잇는 다리 역할. $\triangle ABH$ 에서 구한 $\overline{AH}$ 와 $\overline{BH}$ 가 $\triangle AHC$ 의 풀이로 자연스럽게 연결.
Compare · 두 가지 경우

주어진 조건에 따라 풀이가 갈린다

Two Common Scenarios
Case 1 · 가장 흔함

두 변 + 그 끼인각

조건: $a, c, \angle B$ 알려짐
구하기: $b$ (대변)

끼인각의 마주보는 변에 수선 내림 → 직각삼각형 두 개로 분할 → 피타고라스로 종합.

Case 2 · 응용

한 변 + 양 끝각

조건: $a, \angle B, \angle C$ 알려짐
구하기: $b$ 또는 $c$

마주보는 꼭짓점에서 수선 내림. 수선 길이를 $h$ 로 놓으면 두 직각삼각형이 같은 $h$ 를 나눠 가지므로, 두 조각의 합 $= a$ 로 연립한다.
→ 풀이는 ⑤절 예제 3

수선의 발 $H$ 는 늘 변 위에 떨어지지 않는다

$\overline{BH} = c\cos B$ 를 다시 보자. 이 값은 $c$ 와 $\angle B$ 만으로 정해진다 — 나머지 변 $a = \overline{BC}$ 가 긴지 짧은지는 전혀 묻지 않는다. 그래서 $a$ 가 $\overline{BH}$ 보다 짧으면 $H$ 는 $C$ 를 지나 변 바깥에 떨어진다. 떨어지는 자리는 세 가지다.

① $\overline{BH} < a$ — $H$ 가 $B$ 와 $C$ 사이에  →  $\overline{HC} = a - \overline{BH}$
② $\overline{BH} > a$ — $H$ 가 $C$ 를 지나서 ($\angle C$ 가 둔각)  →  $\overline{HC} = \overline{BH} - a$
③ $\angle B > 90°$ — $H$ 가 $B$ 쪽 연장선 위에  →  $\overline{HC} = a + \overline{BH}$

세 경우를 한 문장으로 묶으면 이렇다 — $\overline{HC}$ 는 길이이므로 언제나 양수다. 뺐는데 음수가 나왔다면 답이 틀린 게 아니라 뺀 순서가 뒤집힌 것이다. 그리고 어느 경우든 마지막 단계는 그대로 $b = \sqrt{\overline{AH}^2 + \overline{HC}^2}$ 다.

③ 둔각이 끼인 경우. $\angle B$ 가 둔각이면 $\triangle ABH$ 에서 쓰는 각은 $\angle B$ 의 보각 $(180° - \angle B)$ 다. 예) $\angle B = 120°$ → $\angle ABH = 180° - 120° = 60°$ 를 써서 $\overline{AH} = c\sin 60°$, $\overline{BH} = c\cos 60°$. 나머지는 같은 방식이고, 길이를 합칠 때만 빼기가 아니라 더하기가 된다.
② 는 언제 생기나. $\angle B$ 가 예각이어도 생긴다. $a$ 가 짧으면 $C$ 가 $H$ 보다 $B$ 쪽에 놓이고, 그러면 $\angle C$ 가 둔각이 된다. 이때 $a - \overline{BH}$ 를 그대로 쓰면 음수가 나온다. $\overline{BH}$ 와 $a$ 중 어느 쪽이 긴지 먼저 비교하는 습관을 들이자.
경계선. $\overline{BH} = a$ 이면 $H$ 와 $C$ 가 정확히 겹친다. 이때는 $\overline{HC} = 0$ 이고 $\angle C = 90°$ 라, 애초에 $\triangle ABC$ 가 직각삼각형이었던 셈이다. 그러면 $b = \overline{AH}$ 로 곧장 끝난다.

조작 — $a$ 를 줄여 $H$ 를 밖으로 내보내 보자

$c = \overline{AB} = 8$ 로 고정하고 $\angle B$ 와 $a = \overline{BC}$ 를 움직여 보자. $\angle B$ 를 그대로 둔 채 $a$ 만 줄이면 $A$ 와 수선은 꼼짝하지 않고 $C$ 만 왼쪽으로 끌려온다 — 그러다 $C$ 가 $H$ 를 넘어서는 순간이 위 ②다.

보라색 = $\overline{BH}$, 초록색 = $\overline{HC}$. 색칠된 부분이 삼각형 바깥으로 삐져나오면 $H$ 가 변 $\overline{BC}$ 밖에 떨어진 것이다.
Examples · 예제

풀이가 있는 세 예제

Worked Examples
예제 1 · 끼인각 60°

$\triangle ABC$ 에서 $a = 5, c = 8, \angle B = 60°$. $b$ 의 길이를 구하라.

$A$에서 $\overline{BC}$에 수선 내리기.
  1. $\triangle ABH$ : $\overline{AH} = 8 \sin 60° = 4\sqrt{3}, \;\; \overline{BH} = 8 \cos 60° = 4$
  2. $\overline{HC} = a - \overline{BH} = 5 - 4 = 1$
  3. $b = \sqrt{\overline{AH}^2 + \overline{HC}^2} = \sqrt{48 + 1} = \sqrt{49} = 7$
  4. 결과 → $b = 7$
예제 2 · 끼인각 120° (둔각)

$\triangle ABC$ 에서 $a = 3, c = 5, \angle B = 120°$. $b$ 의 길이를 구하라.

$\angle B$ 가 둔각 — 수선의 발이 $\overline{BC}$ 연장선 위에 떨어진다.
  1. 보각 : $\angle ABH = 180° - 120° = 60°$ 사용
  2. $\triangle ABH$ : $\overline{AH} = 5 \sin 60° = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}, \;\; \overline{BH} = 5 \cos 60° = \dfrac{5}{2}$
  3. $\overline{HC} = a + \overline{BH} = 3 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{11}{2}$ (둔각이므로 더하기)
  4. $b = \sqrt{\left(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{11}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{75}{4} + \dfrac{121}{4}} = \sqrt{\dfrac{196}{4}} = \sqrt{49} = 7$
  5. 결과 → $b = 7$
예제 3 · Case 2 — 한 변과 양 끝각

$\triangle ABC$ 에서 $a = \overline{BC} = 10, \angle B = 30°, \angle C = 45°$. $c = \overline{AB}$ 의 길이를 구하라.

앞의 두 예제와 달리 변이 하나뿐이다. 그래서 수선 $\overline{AH} = h$ 를 미지수로 놓고 두 직각삼각형에서 각각 식을 세운 뒤, $\overline{BH} + \overline{HC} = a$ 로 연립한다.
  1. $A$ 에서 $\overline{BC}$ 에 수선의 발 $H$ 를 내리고 $\overline{AH} = h$ 로 놓는다. ($\angle B, \angle C$ 가 모두 예각이므로 $H$ 는 $B$ 와 $C$ 사이에 떨어진다.)
  2. $\triangle ABH$ : $\tan 30° = \dfrac{\overline{AH}}{\overline{BH}}$ 이므로 $\overline{BH} = \dfrac{h}{\tan 30°} = \sqrt{3}\,h$
  3. $\triangle ACH$ : $\tan 45° = \dfrac{\overline{AH}}{\overline{HC}}$ 이므로 $\overline{HC} = \dfrac{h}{\tan 45°} = h$
  4. 연립 — 두 조각을 더하면 $\overline{BC}$ 다. $\;\sqrt{3}\,h + h = 10 \;\Rightarrow\; (\sqrt{3}+1)h = 10$
  5. $h = \dfrac{10}{\sqrt{3}+1} = \dfrac{10(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \dfrac{10(\sqrt{3}-1)}{2} = 5(\sqrt{3}-1)$
  6. $\triangle ABH$ 로 돌아가 $\sin 30° = \dfrac{\overline{AH}}{\overline{AB}}$ 이므로 $c = \overline{AB} = \dfrac{h}{\sin 30°} = 2h$
  7. 결과 → $c = 10(\sqrt{3}-1) = 10\sqrt{3} - 10 \approx 7.32$
30° 45° B C A H c = ? b h BH = √3·h CH = h a = BC = 10
Case 1 과 무엇이 다른가. Case 1 은 변이 둘이라 수선의 길이가 바로 나왔다. Case 2 는 변이 하나뿐이라 수선을 미지수 $h$ 로 두고, 두 직각삼각형이 같은 $h$ 를 나눠 갖는다는 사실로 방정식을 만든다. 그 뒤에는 $h$ 를 되돌려 넣어 원하는 변을 구한다 — $b = \overline{AC} = \dfrac{h}{\sin 45°} = \sqrt{2}\,h = 5\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$ 도 같은 방법이다.
Quick Check · 즉문즉답

5문제 즉시 점검

Five Rapid Questions
Q1. 일반 삼각형에서 한 꼭짓점으로부터 마주보는 변에 내려, 직각삼각형 두 개를 만들어 주는 선을 무엇이라 하는가? (한 단어)
Q2. $a = 2, c = 2\sqrt{3}, \angle B = 30°$ 일 때 $b$ 의 값은? (④절 — $\overline{BH}$ 와 $a$ 중 어느 쪽이 긴지 먼저 비교할 것)
Q3. $a = 4, c = 4\sqrt{2}, \angle B = 45°$ 일 때 $b$ 의 값은?
Q4. $a = 3, c = 5, \angle B = 120°$ 일 때 $b$ 의 값은?
Q5. $a = 6, c = 12, \angle B = 60°$ 일 때 $b$ 의 값은? (예: 9√6 꼴)
Practice · 연습

난이도별 연습 8문제

Eight Graded Problems
01★

$\triangle ABC$ 에서 $a = 2, c = 2\sqrt{3}, \angle B = 30°$. $b$ 의 길이는? (④절 — 수선의 발 $H$ 가 어디에 떨어지는지 먼저 확인할 것)

02★

$a = 3, c = 4, \angle B = 60°$. $b$ 의 길이는? (예: √46 꼴)

03★★

$a = 4, c = 4\sqrt{2}, \angle B = 45°$. $b$ 의 길이는?

04★★

$a = 4, c = 8, \angle B = 60°$. $b$ 의 길이는?

05★★

$a = 5, c = 8, \angle B = 60°$. $b$ 의 길이는?

06★★

$a = 6, c = 12, \angle B = 60°$. $b$ 의 길이는?

07★★★

$a = 3, c = 5, \angle B = 120°$ (둔각). $b$ 의 길이는?

08★★★

$a = 2, c = 4, \angle B = 120°$ (둔각). $b$ 의 길이는? (예: 5√5 꼴)

수선이 다리가 된다

직각이 없으면 — 직각을 만들면 된다. 한 꼭짓점에서 수선을 내려 일반 삼각형을 직각삼각형 두 개로 환원하는 우아한 기법. 이 한 가지 발상으로 모든 일반 삼각형의 변이 손에 들어온다. 다음 차시에서는 같은 발상을 넓이로 확장한다.

"Drop a perpendicular — and the general becomes the right."